Формула площади треугольника по стороне и высоте

Мы можем найти площадь треугольника, если известны какая-то из его сторон и высота, проведенная к этой стороне. Не любая высота, а именно высота, проведенная к данной стороне.

\flushleft $S= \frac{1}{2} \ a \cdot{h_{a}}$

Возможны три варианта расположения высоты в треугольнике:

  1. Высота располагается внутри треугольника.
  2. Высота совпадает со стороной треугольника.
  3. Высота располагается вне треугольника.

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 10 сантиметрам, а высота, проведенная к этой стороне составляет 8 сантиметров.

Дано: \flushleft $ \Delta ABC, AC=10 cm, BH=8 cm $

Найти: \flushleft $S_{\Delta ABC} - ?$

Решение:
\flushleft $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \ a \cdot{h_{a}}=\frac{1}{2} \ AC \cdot{BH}=\frac{1}{2} \ 10 \cdot{8}=\frac{80}{2}=40.$

Ответ: 40 cm.

Пример 2. Найдите площадь треугольника ABC, если сторона BC равна 10 сантиметрам, высота AD = 4, высота BH=8.

Дано: \flushleft $ \Delta ABC, BC=10 cm, AD=4 cm, BH=8 cm. $

Найти: \flushleft $S_{\Delta ABC} - ?$

Решение:
У нас две высоты, но только для одной из них известна величина «ее» стороны, то есть стороны, к которой она проведена. Это высота AD и сторона BC. Их и будем использовать в известной нам формуле:
\flushleft $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \ a \cdot{h_{a}}=\frac{1}{2} \ BC \cdot{AD}=\frac{1}{2} \ 10 \cdot{4}=\frac{40}{2}=20.$

Ответ: 20 cm.

Пример 3. Найдите величину стороны AС треугольника ABC, если известны сторона BC этого треугольника, которая равна 10 сантиметрам, высота AD = 4 сантиметра и высота BH=5 сантиметров.

Дано: \flushleft $ \Delta ABC, BC=10 cm, AD=4 cm, BH=5 cm. $

Найти: \flushleft $AC - ?$

Решение:
Мы можем найти величину стороны AC, если нам будет известна площадь этого треугольника, поскольку высота BH, проведенная к стороне AC, известна (см. предыдущую задачу).

Площадь же мы можем найти по двум другим параметрам задачи: по стороне BC и высоте AD. Таким образом, найдем сначала площадь треугольника ABC:

    \flushleft $$ \bf S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \ BC \cdot{AD}$$ $$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2} \ 10 \cdot{4}=\frac{40}{2}=20.$$

И сейчас воспользуемся выражением той же площади, но через сторону AC и высоту BH:

    \flushleft $$\bf{S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \ AC \cdot{BH}}$$ $$20= \frac{1}{2} \ AC \cdot{5}$$

Отсюда:

    \flushleft $$AC = \frac{2S_{\Delta ABC}}{BH}$$ $$AC= \frac{2 \cdot 20}{5}=8$$

Ответ: 8 cm.

ЗАДАЧИ

Наверх